Différences de puissances

Énoncé

1. Trouver trois couples \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , avec \(x \geqslant y\) , tels que \(x^2-y^2\) soit un nombre premier.

2. a. Montrer que, pour tout \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) .
    b. Déterminer tous les nombres premiers de la forme \(x^3-1\) avec \(x \in \mathbb{N}\) .
    c. Déterminer tous les nombres premiers de la forme \(x^3-2\) avec \(x \in \mathbb{N}\) .

3. Existe-t-il des couples \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , avec \(x \geqslant y\) , tels que \(x^4-y^4\) soit un nombre premier ?